"CONCEPTO DE RAZONES TRIGONOMÉTRICAS"
RAZONES TRIGONOMETRICAS
Las Razones trigonométricas se definen comúnmente como el cociente entre
dos lados de un triangulo rectangulo asociado a sus ángulos.
Existen seis funciones trigonométricas básicas.
Para definir las razones trigonométricas del ángulo: α, del vértice A, se parte de un triángulo rectángulo arbitrario que contiene a este ángulo. El nombre de los lados de este triángulo rectángulo que se usará en los sucesivo será:
1) El seno de un ángulo es la relación entre la longitud del cateto opuesto y la longitud de la hipotenusa:
![sen.png sen.png](http://relacionestrigonometricas.wikispaces.com/file/view/sen.png/208149782/sen.png)
El valor de esta relación no depende del tamaño del triángulo rectángulo que elijamos, siempre que tenga el mismo ángulo α , en cuyo caso se trata de triángulos semejantes.
2) El coseno de un ángulo la relación entre la longitud del cateto adyacente y la longitud de la hipotenusa:
![cos.png cos.png](http://relacionestrigonometricas.wikispaces.com/file/view/cos.png/208150672/cos.png)
3) La tangente de un es la relación entre la longitud del cateto opuesto y la del adyacente:
![tan.png tan.png](http://relacionestrigonometricas.wikispaces.com/file/view/tan.png/208151156/tan.png)
4) La cotangente de un ángulo es la relación entre la longitud del cateto adyacente y la del opuesto:
![cot.png cot.png](http://relacionestrigonometricas.wikispaces.com/file/view/cot.png/208151768/cot.png)
5) La secante de un ángulo es la relación entre la longitud de la hipotenusa y la longitud del cateto adyacente:
![sec.png sec.png](http://relacionestrigonometricas.wikispaces.com/file/view/sec.png/208153542/sec.png)
6) La cosecante de un ángulo es la relación entre la longitud de la hipotenusa y la longitud del cateto opuesto:
Existen seis funciones trigonométricas básicas.
Para definir las razones trigonométricas del ángulo: α, del vértice A, se parte de un triángulo rectángulo arbitrario que contiene a este ángulo. El nombre de los lados de este triángulo rectángulo que se usará en los sucesivo será:
- La hipotenusa (h) es el lado opuesto al ángulo recto, o lado de mayor longitud del triángulo rectángulo.
- El cateto opuesto (a) es el lado opuesto al ángulo que queremos determinar.
- El cateto adyacente (b) es el lado adyacente al ángulo del que queremos determinar.
![triang2.png triang2.png](http://relacionestrigonometricas.wikispaces.com/file/view/triang2.png/208226636/231x231/triang2.png)
![sen.png sen.png](http://relacionestrigonometricas.wikispaces.com/file/view/sen.png/208149782/sen.png)
El valor de esta relación no depende del tamaño del triángulo rectángulo que elijamos, siempre que tenga el mismo ángulo α , en cuyo caso se trata de triángulos semejantes.
2) El coseno de un ángulo la relación entre la longitud del cateto adyacente y la longitud de la hipotenusa:
![cos.png cos.png](http://relacionestrigonometricas.wikispaces.com/file/view/cos.png/208150672/cos.png)
3) La tangente de un es la relación entre la longitud del cateto opuesto y la del adyacente:
![tan.png tan.png](http://relacionestrigonometricas.wikispaces.com/file/view/tan.png/208151156/tan.png)
4) La cotangente de un ángulo es la relación entre la longitud del cateto adyacente y la del opuesto:
![cot.png cot.png](http://relacionestrigonometricas.wikispaces.com/file/view/cot.png/208151768/cot.png)
5) La secante de un ángulo es la relación entre la longitud de la hipotenusa y la longitud del cateto adyacente:
![sec.png sec.png](http://relacionestrigonometricas.wikispaces.com/file/view/sec.png/208153542/sec.png)
6) La cosecante de un ángulo es la relación entre la longitud de la hipotenusa y la longitud del cateto opuesto:
![csc.png csc.png](http://relacionestrigonometricas.wikispaces.com/file/view/csc.png/208154692/csc.png)
"CONCEPTO DE ÁNGULOS DE ELEVACION Y DEPRESIÓN"
Son ángulos formados por dos líneas imaginarias llamadas: línea visual o línea de visión y la línea horizontal.
En estos casos, el observador se encuentra por debajo del objeto observado o bien, se encuentra por encima de dicho objeto.
Para estas mediciones se utilizan sencillos aparatos que colocados sobre
un trípode ( 3 puntos determinan un solo plano) el simple giro
realizado de la mirilla sobre el punto a observar nos señala los grados
girados respecto a la horizontal:
![trigonometria](http://www.aulafacil.com/uploads/cursos/755/editor/trigonometriaplana006.es.jpg)
En el caso del ángulo de depresión, el observador se encuentra por
encima del lugar a observar y del modo anterior su representación
podemos hacerla del modo siguiente:
![trigonometria](http://www.aulafacil.com/uploads/cursos/755/editor/trigonometriaplana007.es.jpg)
SENO y COSENO DE UN ÁNGULO
No te preocupes de las palabras que se utilizan en Trigonometría, lo
importante es que sepas para qué sirven. Comprobarás que es una parte de
las Matemáticas sencilla y muy interesante.
Los egipcios hace muchos años se dieron cuenta de que si clavaban en el
suelo unas estacas de diferentes alturas sucedían cosas interesantes.
Observa la figura siguiente:
![trigonometria](http://www.aulafacil.com/uploads/cursos/755/editor/trigonometriaplana008.jpg)
Verás que tenemos tres triángulos rectángulos:
![trigonometria](http://www.aulafacil.com/uploads/cursos/755/editor/trigonometriaplana009.jpg)
Los catetos opuestos al ángulo α son, de menor a mayor: AB, A’B’ y A”B”.
Los catetos contiguos al ángulo α (que están tocando al ánguloα) son, de menor a mayor: OA, O A’ y OA”.
Las hipotenusas de los tres triángulos son, de menor a mayor: OB, OB’ y OB”.
Hace poco has leído que los egipcios se dieron cuenta, pero ¿de qué se dieron cuenta?
Lee con mucha atención:
Para un mismo ángulo α, los cocientes de los valores:
![trigonometria](http://www.aulafacil.com/uploads/cursos/755/editor/trigonometriaplana010.jpg)
Es decir, los cocientes de los catetos opuestos al ángulo entre los valores de sus hipotenusas, SON IGUALES.
![trigonometria](http://www.aulafacil.com/uploads/cursos/755/editor/trigonometriaplana011.jpg)
Si aumentamos o disminuimos el valor del ángulo, los valores de las medidas de los catetos e hipotenusas variarán pero los cocientes entre los nuevos valores seguirán siendo iguales entre sí.
Para un mismo ángulo, el valor del cociente entre el cateto opuesto y su hipotenusa será siempre el mismo.
EJEMPLOS:
Para un ángulo de 30º, el cociente entre el cateto opuesto y su hipotenusa vale 0,5.
Para un ángulo de 45º, el cociente entre el cateto opuesto y su hipotenusa vale 0,707.
Al cociente del cateto opuesto al ángulo entre su hipotenusa se llama seno del ángulo y se escribe sen α.
![trigonometria](http://www.aulafacil.com/uploads/cursos/755/editor/trigonometriaplana012.jpg)
"FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS"
Una función trigonométrica, también llamada circular, es aquella que se define por la aplicación de una razón trigonométrica a los distintos valores de la variable independiente, que ha de estar expresada en radianes.
Existen seis clases de funciones trigonométricas: seno y su inversa, la
cosecante; coseno y su inversa, la secante; y tangente y su inversa, la
cotangente. Para cada una de ellas pueden también definirse funciones circulares inversas: arco seno, arco coseno, etcétera.
La función seno
Se denomina función seno, y se denota por f (x) 5 sen x, a la aplicación de la razón trigonométrica seno
a una variable independiente x expresada en radianes. La función seno
es periódica, acotada y continua, y su dominio de definición es el
conjunto de todos los números reales.
La función cosecante puede calcularse como la inversa de la función seno expresada en radianes.
La función coseno
La función coseno, que se denota por f (x) = cos x, es la que resulta de aplicar la razón trigonométrica coseno
a una variable independiente x expresada en radianes. Esta función es
periódica, acotada y continua, y existe para todo el conjunto de los
números reales.
La función secante se determina como la inversa de la función coseno para un ángulo dado expresado en radianes.
La función tangente
Se define función tangente de una variable numérica real a la que resulta de aplicar la razón trigonométrica tangente
a los distintos valores de dicha variable. Esta función se expresa
genéricamente como f (x) = tg x, siendo x la variable independiente
expresada en radianes.
La función cotangente es la inversa de la tangente, para cualquier ángulo indicado en radianes.
Propiedades de las funciones trigonométricas
Como características importantes y distintivas de las funciones trigonométricas pueden resaltarse las siguientes:
- Las funciones seno, coseno y tangente son de naturaleza periódica, de manera que el periodo de las funciones seno y coseno es 2p y el de la función tangente es p.
- Las funciones seno y coseno están definidas para todo el conjunto de los números reales. Ambas son funciones continuas (no así la función tangente).
- Las funciones seno y coseno están acotadas, ya que sus valores están contenidos en el intervalo [-1,1]. La función tangente no está acotada.
- Las funciones seno y tangente son simétricas respecto al origen, ya que sen (-x) = -sen x; tg (-x)=-tg x. En cambio, la función coseno es simétrica respecto al eje Y: cos (-x) = cos x.
Funciones circulares recíprocas
Se
llaman funciones circulares recíprocas a las que anulan la acción de las
funciones trigonométricas. A cada función trigonométrica le corresponde
una función circular recíproca, según la relación siguiente:
- La función recíproca del seno es arco seno, simbolizada por f (x) = = arc sen x.
- La función recíproca del coseno es arco coseno, expresada por f (x) == arc cos x.
- La función recíproca de la tangente es arco tangente, denotada por f (x) == arc tg x.
EJEMPLOS/EJERCICIOS:
Ejemplo1
Dado que
y
, encuentre los valores de las demás funciones trigonométricas.
![sin\theta=\frac{4}{5}](http://www.wikimatematica.org/images/math/8/2/b/82b733c81b74b71e9b46599aeb30a210.png)
![cos\theta=\frac{3}{5}](http://www.wikimatematica.org/images/math/8/c/a/8ca38edf930467335d5b4d71f0f00566.png)
![tan\theta =\frac{sen\theta}{cos\theta}](http://www.wikimatematica.org/images/math/b/c/2/bc258420569d6dfb6e745e8373b29771.png)
![\frac{4/5}{3/5}](http://www.wikimatematica.org/images/math/1/a/b/1abd6d0d517ba26a036d211efeefbe81.png)
![\frac{4}{3}](http://www.wikimatematica.org/images/math/9/3/8/93853e11f4d8cd2d095ea23f1463e94b.png)
![sec\theta =\frac{1}{cos\theta}](http://www.wikimatematica.org/images/math/6/e/f/6efc9ba2899d6f3907c0db42eaf9b5d1.png)
![\frac{1}{3/5}](http://www.wikimatematica.org/images/math/9/d/0/9d0f05bb64eb2301b7bdfe8105fb5636.png)
![\frac{5}{3}](http://www.wikimatematica.org/images/math/e/0/a/e0a1dd0eb5eafc8cb1188a4895fe33e0.png)
![csc\theta =\frac{1}{sen\theta}](http://www.wikimatematica.org/images/math/b/a/9/ba92d51ee9adecf108ea12c8a0af68ec.png)
![\frac{1}{4/5}](http://www.wikimatematica.org/images/math/5/e/8/5e84eafbcd150579fd1a3f7f5869076c.png)
![\frac{5}{4}](http://www.wikimatematica.org/images/math/e/9/0/e90067e322f28798136a1bed94a8be94.png)
![cot\theta =\frac{1}{tan\theta}](http://www.wikimatematica.org/images/math/c/6/3/c633e1d0b8345f7f9fbfea42cb8082fc.png)
![\frac{1}{4/3}](http://www.wikimatematica.org/images/math/5/5/7/557de20edc00f23b3a2932530800de27.png)
![\frac{3}{4}](http://www.wikimatematica.org/images/math/8/a/7/8a763ab2930ce9708e0c5196b9faebe7.png)
Ejemplo 2
Tenemos que
y
, encontrar el valor de secante, cosecante, cotangente, tangente:
![sin\theta=\frac{10}{15}](http://www.wikimatematica.org/images/math/e/4/5/e45599d1bcc57211e583522c6c9c9ac7.png)
![cos\theta=\frac{35}{25}](http://www.wikimatematica.org/images/math/a/f/e/afe9cb1a39a3ce12558cf51c30c02fe2.png)
![sec\theta =\frac{1}{cos\theta}](http://www.wikimatematica.org/images/math/6/e/f/6efc9ba2899d6f3907c0db42eaf9b5d1.png)
![\frac{1}{35/25}](http://www.wikimatematica.org/images/math/0/b/5/0b562a767471a484c168e3992d0d8d4c.png)
![\frac{5}{7}](http://www.wikimatematica.org/images/math/e/d/a/eda06dcd157a77397b265e9f45d8df33.png)
![csc\theta =\frac{1}{sin\theta}](http://www.wikimatematica.org/images/math/d/d/2/dd2f96813ad0da32f993e6e474481e45.png)
![\frac{1}{10/15}](http://www.wikimatematica.org/images/math/0/2/b/02bc426300b9e0b8c963370b971ff43b.png)
![\frac{3}{2}](http://www.wikimatematica.org/images/math/7/3/1/7317b62bf7533a6a642140a6d7f546ba.png)
![cot\theta =\frac{cos\theta}{sin\theta}](http://www.wikimatematica.org/images/math/9/1/6/916bb4b49fac65b6faa8760edc94f470.png)
![\frac{35/25}{10/15}](http://www.wikimatematica.org/images/math/d/0/8/d083bf7ed89b1994145b7b32f55a13ae.png)
![\frac{21}{10}](http://www.wikimatematica.org/images/math/5/9/d/59d66380aab77e8c5288d7739eae39e6.png)
![tan\theta =\frac{sin\theta}{cos\theta}](http://www.wikimatematica.org/images/math/1/e/1/1e1d967c2da258a0e986f8a64802101f.png)
![\frac{10/15}{35/25}](http://www.wikimatematica.org/images/math/f/d/c/fdc31f8e811f925af6a77cbfddd30247.png)
![\frac{10}{21}](http://www.wikimatematica.org/images/math/f/e/3/fe389c1d8f799cb1b9629034a641abdf.png)
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